آموزش حل 3 معادله 3 مجهول

در این پست، روشهای حل سه معادله سه مجهول را آموزش می دهیم. معادلات 3 معادله 3 را از طریق روشهای مختلفی می توان حل کرد از جمله روش حذفی و روش کرامر.

3 معادله 3 مجهول ها در علوم مهندسی کاربرد زیادی دارند. برای مثال در رشته مهندسی برق، درس مدارهای الکتریکی 1 کاملا به این معادلات وابسته است.

لازم به ذکر است این معادلات را با ماشین حساب و یا کامپیوتر (متلب) هم می توان حل کرد ولی در این پست ما حل دستی آن را آموزش می دهیم.

 

 

روش حذفی

روش حذفی ، روش ساده ای هست ولی مقداری وقت گیر و طولانی می شود.

فرض می کنیم 3 معادله 3 مجهول زیر را داریم:

7x + 5y – 3z= 16

3x – 5y + 2z = -8

5x + 3y – 7z =0

مراحل حل به شرح زیر است:

1- برای ساده شدن، اگر عدد اعشاری یا کسری وجود دارد آنها را حذف می کنیم(تبدیل به عدد طبیعی می کنیم). این مرحله اختیاری است و برای ساده تر شدن محاسبات است.

2- با استفاده از 2 معادله از 3 معادله، یکی از متغیرها را حذف می کنیم. که حاصل، معادله جدیدی با 2 متغیر می شود:

(من با استفاده از معادله اول و دوم، متغیر y را حذف کردم)

10x -z = 8

3- همان متغیر را (در این مثال من متغیر y) با استفاده از 2 معادله دیگر حذف می کنیم. حاصل، معادله جدید دومی با 2 متغیر می شود:

(من با استفاده از معادله اول و سوم، متغیر y را حذف کردم)

-4x + 26z = 48

4- اکنون 2 معادله جدید با 2 مجهول داریم. که این دستگاه 2 معادله 2 مجهول را حل می کنیم:

10x -z = 8

-4x + 26z = 48

نتیجه: x=1 , z=2

5- اکنون به سادگی با جایگذاری کردن این 2 متغیر که بدست آوردیم در یکی از 3 معادله اولیه، متغیر سوم (در اینجا y) را بدست می آوریم:

y=3

6- برای اطمینان، این 3 مقدار را در 2 معادله اولیه دیگر تست می کنیم و چک می کنیم که آیا مقدار متغیرها را بدست آورده ایم. این مرحله هم اختیاری است.

منبع انگلیسی

روش کرامر

روش کرامر، با استفاده از ماتریس و دترمینان است. این روش سریعتر و مختصر تر از روش قبلی هست. چون مثل روش قبلی نیاز نیست هر 3 متغیر را پیدا کنیم، بلکه فقط همان متغیری را بدست می آوریم که لازم داریم.

سه معادله سه مجهول را به صورت زیر داریم:

که شکل ماتریس آن به صورت زیر می شود:

که مقادیر x و y و z به صورت زیر بدست می آیند:

نکته: اگر محاسبه دترمینان ماتریس 3*3 را فراموش کردید، به صورت زیر حل می شود: